Пример применения критерия сэвиджа. Принятие решений в условиях неопределенности Сэвидж основы статистики

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r ij ||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (23), (24), ко­торые перепишем в следующем виде:

Это означает, что r ij есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями V ji при том же i. Неза­висимо от того, является ли V ji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), r ji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при ко­торой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 6. Рассмотрим пример 4. Заданная матрица опреде­ляет потери (затраты). По формуле (31) вычислим элементы мат­рицы рисков || r ij ||:

Полученные результаты вычислений с использованием крите­рия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

Введение величины риска r ji , привело к выбору первой страте­гии R 1 , обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой не­благоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями из­бежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4.Критерий Гурвица.

Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположе­ниях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - α) и в самом выгодном состоянии с вероятно­стью α, где α - коэффициент доверия. Если результат V j i - прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записыва­ется так:

Когда V ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max V ji , или к так называемой стратегии «здорового оптими­ста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Поло­жим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа - выбор стратегии R 2 ,

по критерию Вальда - выбор стратегии R 3 ;

по критерию Сэвиджа - выбор стратегии R 1 ;

по критерию Гурвица при α = 0,5 - выбор стратегии R 1 , а ес­ли лицо, принимающее решение, - пессимист (α = 0), то выбор стратегии R 3 .

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

Задание для самостоятельного решения : написать программу на языке С++ для выбора наиболее эффективного проекта легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля

Определена экономическая эффективность V ji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечению трех сроков рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следующей таблице (д.е.):

	Состояния природы

Требуется выбрать лучший проект для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при ɑ=0,1. Сравните решения и сделайте выводы.

Критерий Сэвиджа был предложен Леонард Джимми Сэвиджем в 1954 году.

Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения используются различные критерии, задача которых - найти наилучшее решение максимизирующее возможную прибыль и минимизирующее возможный убыток.

Критерий заключается в следующем:

1. Строится матрица стратегий (платёжная матрица). Столбцы соответствуют возможным исходам. Строки соответствуют выбираемым стратегиям. В ячейки записывается ожидаемый результат при данном исходе и при данной выбранной стратегии.
2. Строится матрица сожаления (матрица рисков). В ячейках матрицы величина сожаления - разница между максимальным результатом при данном исходе (максимальном числе в данном столбце) и результатом при выбранной стратегии. Сожаление показывает величину, теряемую при принятии неверного решения.
3. Минимаксное решение соответствует стратегии, при которой максимальное сожаление минимально. Для этого для каждой стратегии (в каждой строке) ищут максимальную величину сожаления. И выбирают то решение (строку), максимальное сожаление которого минимально.

Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т.д.

Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max [-405.75, -270.5, -135.25, -143.25] = -135.25 млн.руб. и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 млн.руб.

Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:

1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,

2) по критерию Вальда - 20 станков,

3) по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,

4) по критерию Сэвиджа - 40 станков.

Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.

Существует обширная литература по теории игр и статистических решений.

37. Методы принятия инвестиционно-финансовых решений в условиях определенно­сти.

Это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов. Рассмотрим две возможные ситуации:

а) Имеется два возможных варианта. В данном случае аналитик должен выбрать (или рекомендовать к выбору) один из двух возможных вариантов. Последовательность действий следующая:

Определяется критерий, по которому будет делаться выбор;

Методом «прямого счета» исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;

Возможны различные методы решения этой задачи. Как правило, они подразделяются на две группы:

Методы, основанные на дисконтированных оценках;

Методы, основанные на учетных оценках.

Первая группа методов основывается на следующей идее. Денежные доходы, поступающие на предприятие в различные моменты времени, не должны суммироваться непосредственно; можно суммировать лишь элементы приведенного потока. Если обозначить F1,F2,....,Fn коэффициент дисконтирования прогнозируемый денежный поток по годам, то i-й элемент приведенного денежного потока Рi рассчитывается по формуле:

P i = F i / (1+ r) i

где r- коэфициент дисконтирования.

Назначение коэффициента дисконтирования состоит во временной упорядоченности будущих денежных поступлений (доходов) и приведении их к текущему моменту времени. Экономический смысл этого представления в следующем: значимость прогнозируемой величины денежных поступлений через i лет (Fi) с позиции текущего момента будет меньше или равна Pi. Это означает так же, что для инвестора сумма Pi в данный момент времени и сумма Fi через i лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопоставимый вид оценку будущих доходов, ожидаемых к поступлению в течении ряда лет. В этом случае коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой инвестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Итак последовательность действий аналитика такова (расчеты выполняются для каждого альтернативного варианта):

Рассчитывается величина требуемых инвестиций (экспертная оценка), IC;

Устанавливается значение коэффициента дисконтирования, r;

Определяются элементы приведенного потока, Pi;

Рассчитывается чистый приведенный эффект (NPV) по формуле: NPV=E*Pi-IC

Сравниваются значения NPV;

Предпочтение отдается тому варианту, который имеет больший NPV (отрицательное значение NPV свидетельствует об экономической нецелесообразности данного варианта).

Вторая группа методов продолжает использование в расчетах прогнозных значений F. Один из самых простых методов этой группы - расчет срока окупаемости инвестиции.Последовательность действий аналитика в этом случае такова:

Расчитывается величина требуемых инвестиций, IC;

Оценивается прибыль (денежные поступления) по годам, Fi;

Выбирается тот вариант, кумулятивная прибыль по которому за меньшее число лет окупит сделанные инвестиции.

б) Число альтернативных вариантов больше двух. Процедурная сторона анализа существенно усложняется из-за множественности вариантов, техника «прямого счета» в этом случае практически не применима. Наиболее удобный вычислительный аппарат - методы оптимального программирования (в данном случае этот термин означает «планирование»). Этих методов много (линейное, нелинейное, динамическое и пр.), но на практике в экономических исследованиях относительную известность получило лишь линейное программирование. В частности рассмотрим транспортную задачу как пример выбора оптимального варианта из набора альтернативных. Суть задачи состоит в следующем.

Имеется n пунктов производства некоторой продукции (а1,а2,...,аn) и k пунктов ее потребления (b1,b2,....,bk), где ai - объем выпуска продукции i - го пункта производства, bj - объем потребления j - го пункта потребления. Рассматривается наиболее простая, так называемая “закрытая задача ”, когда суммарные объемы производства и потребления равны. Пусть cij - затраты на перевозку единицы продукции. Требуется найти наиболее рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, минимизирующую суммарные затраты по транспортировке продукции. Очевидно, что число альтернативных вариантов здесь может быть очень большим, что исключает применение метода “ прямого счета ”. Итак необходимо решить следующую задачу:

ΣΣCg Xg→ min

Σ Xg = bj Σ Xg = bj Xg→ 0

Известны различные способы решения этой задачи -распределительный метод потенциалов и др. Как правило для расчетов применяется ЭВМ.

При проведении анализа в условиях определенности могут успешно применяться методы машинной имитации, предполагающие множественные расчеты на ЭВМ. В этом случае строится имитационная модель объекта или процесса (компьютерная программа), содержащая b-е число факторов и переменных, значения которых в разных комбинациях подвергается варьированию. Таким образом машинная имитация - это эксперимент, но не в реальных, а в искусственных условиях. По результатам этого эксперимента отбирается один или несколько вариантов, являющихся базовыми для принятия окончательного решения на основе дополнительных формальных и неформальных критериев.

Главная > Документ

1.4.Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей, т.е. стараясь занять уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий (HW), оценочная функция которого находится где-то между точками предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Оценочная функция имеет две формы записи: Z H W =, (5)где  - “степень пессимизма” ("коэффициент пессимизма", весовой множитель), 0  1. Правило выбора согласно критерию Гурвица (HW – критерия) формулируется следующим образом: Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов каждой строки. Выбираются те варианты Xi , в строках которых стоят наибольшие элементы a ir этого столбца. При =1 критерий Гурвица (5) тождественен критерию Вальда, а при  =0 – в критерий крайнего оптимизма (критерий азартного игрока), рекомендующий выбрать ту стратегию, при которой самый большой выигрыш в строке максимален. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как и выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель =0.5 без возражений принимается в качестве некоторой "средней" точки зрения. На выбор значения степени пессимизма оказывает влияние мера ответственности: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень пессимизма  ближе к единице. Рассмотрим применение критерия Гурвица для данных таблицы 1 и степени пессимизма =0.6. Для стратегии X 1 минимальное значение равно 1, а максимальное – 10. Используя формулу (6), вычислим а 1 r =0.6*1+0.4*10=4.6. Аналогично для второй стратегии. Находим максимальное значение столбца а ir . В результате получим таблицу 11. Таблица 11 Следовательно, по критерию Гурвица при =0.6 следует выбирать стратегию X 1 . Замечание. В литературе используется и такая форма критерия Гурвица: Z H W =
, (6)где  - “степень оптимизма” ("коэффициент оптимизма ", весовой множитель), 01. При =0 критерий Гурвица (6) тождественен критерию Вальда, а при =1 совпадает с максиминным решением. Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятностях появления Вj ничего не известно; с появлением состояний Вj необходимо считаться; реализуется лишь малое количество решений; допускается некоторый риск.

1.5.Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным . Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем (Savage) в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой. По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю. При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора. Для решения задачи строится так называемая “матрица рисков”, элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального варианта решения. Риском игрока r ij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i. Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце:
, и тогда риск:
. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска: Z S =
. (6) Рассмотрим применение критерия Сэвиджа для данных таблицы 10. Строим матрицу "рисков" для этого находим максимальные значения для каждого столбца таблицы 1. Они равны 1.1; 10 и 1.2 соответственно и находим значения рисков по формуле . Дополняем эту матрицу столбцом наибольших разностей. Выбираем те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. В результате получим таблицу 12. Таблица 12. Матрица рисков Критерий Сэвиджа рекомендует выбрать стратегию X 1 .

1.6.Критерий Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “недостаточного основания ” Лапласа. Для решения задачи для каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности состояний природы полагаются равными q j = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна. Z L =
. Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

1.7.Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша: Z BL =
. Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип ). Возвращаясь к нашей таблице 1 предположим, что q 1 =0.4, q 2 =0.2 и q 3 =0.4. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа таблицу 1 дополняем столбцом математических ожиданий и среди этих значений выбираем максимальное. Получим таблицу 13. Таблица 13. Оптимальным является решение X 1 . Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени; решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз; для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён. Исходная позиция применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:Таблица 14. Оптимальные варианты, полученные с помощью различных критериев

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица, =0.6	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Лапласа q 1 =0.4, q 2 =0.2, q 3 =0.4

Из таблицы 14 видно, что от выбранного критерия (а, в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения. Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы. Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Сэвиджа. Примеры постановки решения задач В данном параграфе на примере решения задач мы должны научиться определять вектор стратегий, вектор состояний и платёжную матрицу и применять различные критерии для получения оптимального решения. Задача. В приморском городе решено открыть яхт-клуб. Сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек. Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год. Решение. Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Для уменьшения объема перебора ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак: X = { X i } = (2, 3, 4, 5) – количество яхт (i=1,2,3,4) ; B = { B j } =(10, 15, 20, 25) – количество членов яхт-клуба (j=1,2,3,4) . Для того, чтобы начать поиск решения, построим матрицу решений , элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j –ом количестве членов яхт-клуба:

a ij = 100 ´min(5 ´X i ; B j ) - 170 ´X i - 730

Т.е. решающее правило в нашей задаче формулируется как "доход – затраты".Выполнив несложные расчеты, заполним матрицу решений {a ij } (см. табл. 15): Таблица 15. Платёжная матрица

Например, a 11 = 100´min(52, 10) - 170´2-730 =-70 a 12 =100´min(5´2, 15)-170´2-730=-70 a 13 = a 14 = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки. Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) – для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

Z MM =max(-70 ; -240; -410; -580)= -70

Вывод : принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е. Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице 16 выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных  ): Таблица 16. Решения по Гурвицу для различных  Вывод : при   0,5 следует закупить 5 яхт и ожидать прибыль порядка, не меньшую 170 д.е. (надеемся на широкую популярность нашего клуба и определенную финансовую состоятельность любителей), при  = 0,2 не следует закупать более 2 яхт (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от создания клуба). Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений DРабочая программа

Теория принятия решений – прикладная дисциплина и область исследований, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии, которая в формате экономических приложений изучает методы и закономерности

В ситуации неопределенности невозможно определить вероятности наступления тех или иных последствий принимаемых решений. Поэтому критерий математического ожидания, который широко используется в ситуации риска, и для которого обязательно нужны упомянутые вероятности, здесь неприменим. Вместо него используются иные критерии.

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности существует два основных критерия: максимин и минимакс. Максимин называют еще критерием пессимиста или критерием Вальда , а минимакс - критерием Сэвиджа.

Критерий Вальда (Уолда) – максиминный. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности – критерий крайнего пессимизма, который основывается на выборе "из худшего – лучшее". По сути, это критерий минимакса – основной в теории игр. Согласно этому критерию природа (среда) ведет себя как разумный агрессивный противник, делающий все, чтобы помешать нам достичь успеха. Оптимальной считается та стратегия, которая гарантирует выигрыш наибольший (max) из всех наихудших (min) возможных исходов действия по каждой стратегии – уровень безопасности:

Выбранная таким образом оптимальная по критерию Вальда стратегия называется максиминной, а величина W – максимином.

Критерий Сэвиджа – минимаксного риска . Критерий предполагает предварительное составление так называемой матрицы "рисков" (потерь, сожалений). В теории статистических решений риском rij при пользовании стратегией Qi в условиях Gj называется разность между выигрышем, который мог бы быть получен, если бы были известны условия Gj, и выигрышем, который будет получен, не зная их и выбирая стратегию Qi:

Минимакс ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму к полному краху

Критерий произведений

Высокодоходные акции редко бывают достаточно надежными, а самые надежные высокодоходными. Поэтому при покупке акций всегда приходится выбирать между их доходностью и их надежностью и как-то увязывать их между собой. Такая проблема всегда встает при любом инвестиционном проекте. Если известны вероятности сохранения или потери инвестиций, то эта проблема решается с помощью критерия математического ожидания. Если их нет, приходится обращаться к другими критериям. Одним из таких критериев является критерий произведений. Он позволяет выбрать такой проект, который бы был наиболее доходным и в то же время наименее рискованным. Критерий произведений рассчитывается по формуле:

Критерий произведений способен работать на минимуме информации.

Пример решения задачи

Предположим, что в условиях колебания спроса G j = {3000, 6000, 9000,12000} у торгового предприятия существуют три стратегии сбыта какого-либо товара: Q п (1) = 6000 шт; Q п (2) = 9000 шт; Q п (3) = 12000 шт. по цене реализации C р = 70 руб. при цене покупки C п = 30 руб. и средних издержках И = 10руб./шт.

В соответствии с ресурсными возможностями торгового предприятия рассчитаем варианты среднегодовой прибыли по формуле (1), а результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица выигрышей (прибылей) коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

1. Критерий Вальда. Для определения оптимальной стратегии по критерию наибольшей осторожности дополним табл. 3 столбцом 6 справа, укажем для каждой строки минимум прибыли и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (см. табл. 4).

Таблица 4 - Сводная матрица прибылей

2. Критерий Гурвица. Пусть показатель пессимизма λ определен λ = 0,4.

Для вычисления значений стратегий по критерию взвешенной (разумной) осторожности в дополнительном столбце 7 табл. 4 найдем максимальные значения для каждой строки. Тогда:

Максимальное значение соответствует двум стратегиям закупки Q п (1) и Q п (2) .

3. Критерий Лапласа. Исходя из принципа равновероятности состояний природы найдем средние значения "выигрышей"– прибылей для каждой стратегии:

По критерию усреднения выигрышей Лапласа наилучшей является стратегия закупки Q п (2)

4. Критерий Байеса-Лапласа. Для определения оптимальной стратегии по критерию средневзвешенной оценки выигрышей необходимо знать распределение вероятностей спроса. Пусть из прошлого опыта или экспертным путем такие вероятности определены (нижняя строка в табл. 4).

Тогда оценки по критерию для каждой стратегии составят:

Максимальное значение соответствует стратегии Q п (2) .

Таблица 5 - Матрица рисков коммерческих стратегий

5. Критерий Сэвиджа. Перейдем от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 5). Для этого предварительно укажем в дополнительной строке таблицы максимально возможные выигрыши по каждому состоянию природы (предпоследняя строка) и затем рассчитаем соответствующие риски r i j = max П i j – П i j

для заполнения матрицы рисков (табл. 5). Исходя из принципа наибольшей осторожности, находим максимальные значения рисков по строкам и из них выбираем стратегии Q п (1) и Q п (2) с минимальным значением максимально возможного риска. Перенесем полученные значения в табл. 4 для подведения итогов выбора.

Итак, конкурирующими оказались стратегии Q п (1) и Q п (2) (выбор стратегии Q п (3) по критерию Гурвица вызван, скорее всего, излишним оптимизмом при выборе показателя λ). Стратегия Q п (1) выбрана по критериям Вальда, Лапласа и Сэвиджа, стратегия Q п (2) – по критериям Лапласа, Байеса-Лапласа и Сэвиджа.

Предпочтение той или иной стратегии выбирается лучшей по большинству критериев. Но в нашем случае две стратегии Q п (1) и Q п (2) равнозначны в этом смысле.

Задача по вариантами:

Таблица 6 - Матрица прибылей коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Применим изложенный выше алгоритм действий для принятия решения в условиях задачи из п. 1 (табл. 2).

1. Найдем наибольшую возможную величину прибыли для каждого сценария развития региона:

y 1 = max (x 11 , x 21) = max(45, 20) = 45

y 2 = max (x 12 , x 22) = max(25, 60) = 60

y 3 = max (x 13 , x 23) = max(50, 25) = 50

2. Рассчитаем значения "сожалений" для каждого проекта при каждом сценарии (т.е. найдем недополученную прибыль по сравнению с максимально возможной при данном сценарии развития). Составим из полученных значений "матрицу сожалений" (см. табл.2.3).для проекта Х 1:

r 11 = y 1 - x 11 = 45 - 45 = 0

r 12 = y 2 - x 12 = 60 - 25 = 35

r 13 = y 3 - x 13 = 50 - 50 = 0

для проекта Х 2:

r 21 = y 1 - x 21 = 45 - 20 = 25

r 22 = y 2 - x 22 = 60 - 60 = 0

r 23 = y 3 - x 23 = 50 - 25 = 25

Табл.3. Матрица сожалений R (для примера).

4. В полученной матрице по каждой строке найдем наибольшую величину "сожаления" для каждого проекта (последний столбец в табл. 3). Это значение соответствует оценке данной альтернативы по критерию Сэвиджа.

S 1 = max(0, 35, 0) = 35

S 2 = max(25, 0, 25) = 25

5. Сравним полученные величины и найдем проект с минимальным (!) значением критерия. Он и будет оптимальным:

35 > 25 => S 1 > S 2 => X* = X 2

ЛПР, руководствующийся при принятии решений критерием Сэвиджа, выберет проект Х 2 .

Еще раз подчеркнем, что в отличие от остальных критериев, наилучшей альтернативой является та, для которой значение критерия Сэвиджа минимально, поскольку критерий отражает наибольший из возможных недополученных выигрышей для данной альтернативы. Разумеется, чем меньше можно недополучить, тем лучше.

Критерий Гурвица

Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы x i max и x i min каждой альтернативы:

x i max = max(x ij), x i min = min(x ij), j = 1..M

Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1. Формула для расчета критерия Гурвица для i-й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:

H i (λ) = λ x i max + (1 - λ) x i min

Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:

Х* = Х k , H k (λ) = max(H i (λ)), i = 1..N

Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ.

Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода x i min в оценке альтернативы должен быть выше, чем для x imах. Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5, исключая последнее значение.

При λ=0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.

Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ=1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.

Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5.